Question

15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PD}$的值为$-\frac{12}{9}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用已知及平面向量基本定理把$\overrightarrow{PB}、\overrightarrow{PD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，然后展开数量积运算得答案．

解答 解：如图，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2$，$∠A=\frac{2π}{3}$，
$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$）•$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
=（$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$）•$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AD}{|}^{2}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$-\frac{2}{9}×4+\frac{2}{3}×2×2×cos\frac{2π}{3}$=$-\frac{8}{9}+\frac{8}{9}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{12}{9}$．
故答案为：$-\frac{12}{9}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题．