Question

如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；
（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）根据平面与平面垂直的性质定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．
（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过点C作CM⊥AB于M，连接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．
（3）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，连接AO、MO、NO、MN、OD，则OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．
解法二：
以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）设CD=1，则O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．故由

AB

•

CD

=0得：

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．
（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量为

CD

=(1，0，0)，设平面ABD的法向量为

n

=(x，y，z)，所以这两个法向量的夹角的大小（正值）即为二面角D-AB-C的大小；
（3）因为

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，故异面直线AC和BD所成角的大小即为

BD

与

AC

的夹角的大小．

解答：解法一：
（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM．

由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影，
∴DM⊥AB．（三垂线定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得BC=

3

，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴CM=

3

2

•BC=

3

2

．
∴tan∠CMD=

CD

CM

=

2

3

．
∴∠CMD=arctan

2

3

．
∴二面角D-AB-C的大小为arctan

2

3

．（9分）
（Ⅲ）解：如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，
连接AO、MO、NO、MN、OD，
则OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，ON=

1

2

AD．
又∵CD⊥面ABC，故AD=

DC2+AC2

=2ON=2．
在△OMN中，OM=

3

2

，MN=1，ON=1．
∴cos∠OMN=

1 2 MO

MN

=

3

4

．
∴异面直线AC和BD所成角为arccos

3

4

．（14分）
解法二：
（Ⅰ）分别取BC、BD的中点O、M，连接AO、OM．
∵△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD．
∵OM是△BCD的中位线，且CD⊥平面ABC，
∴OM⊥平面ABC．
以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间
直角坐标系．（2分）

设CD=1，则O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

CD

=(1，0，0)．（4分）
∴

AB

•

CD

=0×1+(-

3

2

)×0+(-

3

2

)×0=0．
∴

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量为

CD

=(1，0，0)．（7分）
设平面ABD的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

AD

=(1，

3

2

，-

3

2

)．
∴

n

•

AB

=0×x+(-

3

2

)×y+(-

3

2

)×z=0，
即

3

y+3z=0．

n

•

AD

=1×x+

3

2

×y+(-

3

2

)×z=0，
即2x+

3

y-3z=0．
∴令y=

3

，则x=-3，z=-1．
∴

n

=(-3，

3

，-1)．（9分）

∴cos＜

CD

，

n

＞=

CD • n

| CD |•| n |

=

-3×1+ 3 ×0+(-1)×0

(-3)2+( 3 )2+(-1)2 • 12+02+02

=-

3 13

13

．
∵二面角D-AB-C是锐角，
∴二面角D-AB-C的大小为arccos

3 13

13

．（11分）
（Ⅲ）∵

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，
∴cos＜

BD

，

AC

＞=

BD • AC

| BD |•| AC |

=

1×0+ 3 × 3 2 +0×(- 3 2 )

12+( 3 )2+02 • 02+( 3 2 )2+(- 3 2 )2

=

3

4

．
∴异面直线AC和BD所成角为arccos

3

4

．（14分）

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．