Question

已知定义在R上函数y=f（x）满足条件f（x）+f（x-1）=1，当x∈[0，1]时f（x）=x²．给出以下四个命题：
（1）函数f（x）是以2为周期的函数；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=2x-x²；
（3）函数f（x）为R上的偶函数；
（4）f(-2005.5)=

3

4

．
其中真命题的序号为

（1）（2）

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）+f（x-1）=1，可得f（x+1）+f（x）=1，进而可得f（x+2）=f（x），进而由周期性的定义可得（1）的真假；根据f（x）+f（x-1）=1，及当x∈[0，1]时f（x）=x²，可求出x∈[1，2]时的解析式进而得到（2）的真假；根据（1）（2）的结论，求出x∈[-1，0]时的解析式，与x∈[0，1]时f（x）=x²，进行比照后，结合偶函数的定义，可得（3）的真假；利用（1）中函数的周期性及x∈[0，1]时f（x）=x²．求出f（-2005.5）的值，可判断（4）的真假．

解答：解：∵f（x）+f（x-1）=1，则f（x+1）+f（x）=1，即f（x+1）=1-f（x），则f（x+2）=f[（x+1）+1]=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以2为周期的函数，故（1）正确．
∵x∈[1，2]时，x-1∈[0，1]，且x∈[0，1]时f（x）=x²．
∴当x∈[1，2]时，f（x）+f（x-1）=f（x）+（x-1）²=1
∴f（x）=1-（x-1）²=2x-x²，故（2）正确；
由（1）（2）得
当x∈[-1，0]时，x+2∈[1，2]，
此时f（x+2）=f（x）=2（x+2）-（x+2）²=-x²-2x
而此时-x∈[0，1]，
f（-x）=（-x）²=x²≠f（x），故函数f（x）不为R上的偶函数，故（3）错误；
由（1）得f（-2005.5）=f（0.5）=

1

4

，故（4）错误
故答案为：（1）（2）

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的周期性，奇偶性，函数求值，及函数解析式的求法，是函数基本性质的综合应用，难度中档．