分析 (1)由(sin2θ+cos2θ)2=1,求出2sin2θcos2θ=$\frac{4}{9}$,由此能求出sin2θ.
(2)利用同角三角函数关系式化简求值.
(3)由$sinα+cosα=\frac{1}{5}(0<α<π)$,求出sinα,cosα,由此能求出$\frac{{sin(α-\frac{π}{4})}}{2sinαcosα}$的值.
解答 解:(1)∵θ是第三象限角,且${sin^4}θ+{cos^4}θ=\frac{5}{9}$,
∴sinθ<0,cosθ<0,
(sin2θ+cos2θ)2
=sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ
=$\frac{5}{9}+2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ$=1,
∴2sin2θcos2θ=$\frac{4}{9}$,
sin2θ=2sinθcosθ=2×$\sqrt{\frac{2}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
(2)$\frac{{\sqrt{1-2sin{{10}°}cos{{10}°}}}}{{sin{{170}°}-\sqrt{1-{{sin}^2}{{170}°}}}}$=$\frac{\sqrt{(sin10°-cos10°)^{2}}}{sin10°-\sqrt{co{s}^{2}10°}}$=$\frac{cos10°-sin10°}{sin10°-cos10°}$=-1.
(3)∵$sinα+cosα=\frac{1}{5}(0<α<π)$,①
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$,∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$,
且sinα>0,cosα<0,②
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$,
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$,③
联立①②③,得sinα=$\frac{4}{5}$,cosα=-$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{{sin(α-\frac{π}{4})}}{2sinαcosα}$=$\frac{sinαcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}}{2sinαcosα}$=$\frac{\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{24}{25}}$=-$\frac{35\sqrt{2}}{48}$.
点评 本题考查三角函数化简求值,是中档题,解题时要认真审题,注意同角三角函数关系式、正弦函数加法定理的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ?x0∈[0,+∞],使f(x0)>0 | B. | f(x)的图象过点(1,1) | ||
C. | f(x)是增函数 | D. | ?x∈R,f(-x)+f(x)=0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | -2 | C. | -$\frac{5}{2}$ | D. | -$\frac{7}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{8}{25}$ | B. | $-\frac{8}{25}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | -$\frac{4}{3}$ |
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