Question

函数y=f（x）定义在R上单调递减且f（0）≠0，对任意实数m、n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用f（m+n）=f（m）•f（n）及y=f（x）为单调递减函数，化简集合A，得到确定出集合A中元素为圆心是原点，半径为1的单位圆内的点组成的集合；令m=n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n），根据f（0）≠0，得到f（0）的值，进而根据f（x）单调，把集合B中的1变为f（0），进而确定出集合B为直线ax-y+2=0上点组成的集合，根据题意画出函数图象，先求出直线与圆相切时的a的值，根据图象写出满足题意的a的范围即可．

解答：解：由集合A中的不等式f（x²）•f（y²）＞f（1），
变形为：f（x²）•f（y²）=f（x²+y²）＞f（1），
又函数y=f（x）定义在R上单调递减，得到x²+y²＜1，
即集合A是圆心为（0，0），半径为1的圆内的所有的点所构成的集合；
令m=0，n=0，得到f（0+0）=f（0）•f（0），即f（0）[f（0）-1]=0，又f（0）≠0，
所以f（0）=1，则集合B中的等式f（ax-y+2）=1=f（0），由函数y=f（x）单调，
得到ax-y+2=0，即集合B是直线ax-y+2=0上的点的坐标构成的集合，
根据题意画出图象，如图所示：

由A∩B=∅，所以圆与直线没有交点，特殊情况为直线ax-y+2=0与圆x²+y²=0相切，
圆心到直线的距离d=

2

a2+1

=1，解得a=

3

或-

3

，
则满足题意的a的取值范围是：-

3

≤a≤

3

．
故答案为：-

3

≤a≤

3

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的思想，是一道中档题．