Question

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥AD，
又∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，
∵BB₁，BC?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁
（Ⅱ）∵正三角形ABC边长为2，可得S_△ABC=×2²=，三棱柱的高AA₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，可得四棱锥D-B₁C₁CB的高在AD上且等于AD的
∴四棱锥D-B₁C₁CB的体积为
所以该多面体的体积为
分析：（I）利用正三棱柱的性质，可得BB₁⊥AD，结合菱形ABDC的对角线AD⊥BC，可证出AD⊥平面BCC₁B₁，最后结合面面垂直的判定定理，可得平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（II）由题意，易得正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，再根据（I）中的线面垂直结合题中所给的数据算出四棱锥D-B₁C₁CB的体积，将两体积相加即得求该多面体的体积．
点评：本题给出由正三棱柱和四棱锥拼接而成的一个多面体，叫我们证明面面垂直并且求该多面体的体积，着重考查了空间面面垂直的判定和组合几何体的体积计算等知识，属于基础题．