Question

从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有顶点中任取两点连成直线，要求所得直线与AC₁垂直，则这样的直线共有________条．

Answer 1

6
分析：连接AC，则BD⊥AC．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由C₁C⊥平面BCD，BD?平面BCD，知C₁C⊥BD，由此能证明AC₁⊥BD．同样地可以证明这样的直线共有 6条．
解答：证明：如图，连接AC，则BD⊥AC．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵C₁C⊥平面BCD，
BD?平面BCD，
∴C₁C⊥BD，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
同样A₁B，A₁D，B₁D₁，B₁D，C₁D都与AC₁垂直．
故答案为：6
点评：本题考查棱柱的结构特征，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题．