Question

11．设f（x）=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$（a∈R，a≠0）是定义在R上的函数
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=1时，判断并明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
（3）当a=1时，若k²-k≤f（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）需对a进行讨论，分别假设是奇函数和偶函数求出a的值；
（2）根据定义，任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负，得出单调性；
（3）根据函数的奇偶性和单调性求出f（x）的最小值，进而求出m的范围．

解答 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
①假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，
∴f（-x）=-f（x），
即 $\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=-（$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$）
整理得（a+$\frac{1}{a}$）（e^x+e^-x）=0，
∴a²+1=0，显然无解．
∴f（x）不可能是奇函数．
②假设f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即 $\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$
整理得（a-$\frac{1}{a}$）（e^x-e^-x）=0，
又∵对任意x∈R都成立
∴有a-$\frac{1}{a}$=0，得a=±1．
故当a=±1时，函数为偶函数；
（2）当a=1时，f（x）=e^-x+e^x，以下讨论其单调性，
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${e}^{-{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{2}}$=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）＜0，
其中${e}^{{x}_{1}}$、${e}^{{x}_{2}}$＞0，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增；
（3）由（2）知，f（x）的最小值为f（0）=2，
∴k²-k≤0，
∴0≤k≤1．

点评 考查了函数奇偶性和恒成立问题的转换．