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设f(x)是定义在R的偶函数,对任意xÎR,都有f(x-2)=f(x+2),且当xÎ[-2, 0]时, f(x)=.若在区间(-2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是(    )

A.(1, 2)             B.(2,+¥)            C.(1,)           D.(, 2)

 

【答案】

B

【解析】

试题分析:画出当x∈[-2,0]时,函数f(x)=的图象(如图).

∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴当x∈[0,2]时的函数f(x)的图象与当x∈[-2,0]时,函数f(x)图象关于y轴对称.

∵对任意x∈R,都有f(x+2)=f(2-x)成立,∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称.

根据以上的分析即可画出函数y=f(x)在区间[-2,6]上的图象.

当0<a<1时,可知不满足题意,应舍去;

当a>1时,画出函数y=loga(x+2)的图象.

若使函数y=f(x)与y=loga(x+2)=0在区间(-2,6]内有3个实根,而在(-2,0)必有一个实根,只需在区间(0,6]内恰有两个不同的交点(即关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0在区间(0,6]内恰有两个不同的实数根),则实数a满足,loga(6+2)>3,

∴a3<8,∴a<2,又1<a,∴1<a<2.故a的取值范围为1<a<2.故选B.

考点:本题主要考查函数的奇偶性、周期性,指数函数、对数函数的性质。

点评:中档题,此类题目在高考题中常常出现,综合性较强,利用数形结合思想,提供分析图形特征,形象直观的使问题得解。

 

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A.(1,2)        B. (2,+∞)       C. (1,)       D. (,2)

 

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