Question

设实数x，y满足条件

3x+y-5≤0 x+2y-5≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+y仅在点P（1，2）处取得最大值，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答：解：作出不等式对应的平面区域，
由z=ax+y得y=-ax+z，
要使目标函数z=ax+y仅在点P（1，2）处取得最大值，
则阴影部分区域在直线y=-ax+z的下方，
∴-a＜0，
即a＞0，且目标函数处在直线3x+y-5=0和x+2y-5=0之间，
即目标函数的斜率k，满足-3＜-a＜-

1

2

，
即

1

2

＜a＜3，
故答案为：

1

2

＜a＜3．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y仅在点P（1，2）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．