Question

（12分）设函数f(x) ＝ x²＋bln(x＋1),

（1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；

（2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

（3）若b＝－1，证明对任意的正整数n，不等式都成立；

Answer 1

解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),

对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f^/ (1) = 0,

解得b= - 4.………………………………2分

经检验，列表（略），合题意；……………………4分

（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数，

∴f^/ (x) ≥0或f^/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立。

若f^/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x² +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x² -2x = 恒成立,由此得b≥;

若f^/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x² +2x+b≤0,即b≤-(2x²+2x)恒成立，

因-(2x²+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立。

综上所述，实数b的取值范围是。………………………………8分

（3）当b= - 1时，函数f(x) = x² - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x³ = x² – ln(x+1) – x³，

则h^/(x) = - 3x² +2x - ，

∴当时，h^/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减。

又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x² – ln(x+1) ＜x³恒成立.故当时,有f(x) ＜x^3..

∵取则有 

 ∴,故结论成立。……………………12分