Question

若a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N），我们把使乘积a₁a₂…a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内所有劣数的和为

2026

．

Answer 1

分析：由已知中a_n=log_（n+1）（n+2），利用对数的运算性质（换底公式的推论），我们可以得到乘积a₁a₂…a_n=log₂（n+2），则当n+2为2的整数次幂时，n为劣数，即所有劣数n，对应的n+2构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，易求出区间（1，2004）内所有劣数的和．

解答：解：∵a_n=log_（n+1）（n+2）
∴a₁=log₂3；a₂=log₃4；a₃=log₄5；…
则a₁a₂…a_n=log₂3•log₃4•log₄5•…•log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2）
当n+2为2的整数次幂时，a₁a₂…a_n为整数
则在区间（1，2004）内所有劣数n，对应的n+2构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，且满足条件的最后一项为1024
则区间（1，2004）内所有劣数的和为：
（4-2）+（8-2）+（16-2）+…+（1024-2）=（4+8+16+…+1024）-2×9=2044-18=2026
故答案为：2026

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的前n项和公式，其中根据对数的运算性质将a₁a₂…a_n化为log₂（n+2），是解答本题的关键，解答时，要注意在区间（1，2004）内最小的劣数对应的n+2为4，而不是2．