Question

14．己知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与圆C₂：x²+y²=5的两个交点之间的距离为4．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设过抛物线C₁的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C₂交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆C₁：x²+y²=5与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB|•|CD|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与圆C₂：x²+y²=5在第一象限内的交点为R（2，m），
∴4+m²=5，
∵m＞0，
∴m=1，
将（2，1）代入x²=2py，可得p=2；
（Ⅱ）抛物线C₁的方程为x²=4y．直线的方程为y=kx+1，
联立x²=4y可得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4
联立x²+y²=5可得（1+k²）x²+2kx-4=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴x₃+x₄=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=4（1+k²），|CD|=$\sqrt{\frac{16+20{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
∴|AB||CD|=4$\sqrt{（16+20{k}^{2}）（1+{k}^{2}）}$=$\frac{1}{4}$×$32\sqrt{5（{k}^{2}+\frac{9}{10}）^{2}-\frac{1}{20}}$，
∵k∈[0，1]，∴k²∈[0，1]，
∴|AB||CD|∈[16，24$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．