【题目】设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为 .已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为 ,求直线AP的方程.
【答案】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).
依题意可得 ,
解得a=1,c= ,p=2,于是b2=a2﹣c2= .
所以,椭圆的方程为x2+ =1,抛物线的方程为y2=4x.
(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),
联立方程组 ,解得点P(﹣1,﹣ ),故Q(﹣1, ).
联立方程组 ,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣ .
∴B( , ).
∴直线BQ的方程为( ﹣ )(x+1)﹣( )(y﹣ )=0,
令y=0,解得x= ,故D( ,0).
∴|AD|=1﹣ = .
又∵△APD的面积为 ,∴ × = ,
整理得3m2﹣2 |m|+2=0,解得|m|= ,∴m=± .
∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0,或3x﹣ y﹣3=0.
【解析】(Ⅰ)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(Ⅱ)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.
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【题目】设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,则 ; ②若则;③若,则; ④若,则,其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】为了实现绿色发展,避免浪费能源,某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此,相关部分在该市随机调查了户居民六月份的用电量(单位:)和家庭收入(单位:万元),以了解这个城市家庭用电量的情况.
用电量数据如下:
.
对应的家庭收入数据如下:
.
(Ⅰ)根据国家发改委的指示精神,该市计划实施阶阶梯电价,使的用户在第一档,电价为元/;的用户在第二档,电价为元/;的用户在第三档,电价为元/,试求出居民用电费用与用电量间的函数关系;
(Ⅱ)以家庭收入为横坐标,电量为纵坐标作出散点图(如图),求关于的回归直线方程(回归直线方程的系数四舍五入保留整数).
(Ⅲ)小明家的月收入元,按上述关系,估计小明家月支出电费多少元?
参考数据:,,,,.
参考公式:一组相关数据,,…,的回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,,其中,为样本均值.
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【题目】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1 , l2 , 直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
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【题目】下列说法中:
①若,满足,则的最大值为;
②若,则函数的最小值为
③若,满足,则的最小值为
④函数的最小值为
正确的有__________.(把你认为正确的序号全部写上)
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【题目】随着业的迅速发展计算机也在迅速更新换代,平板电脑因使用和移动便捷以及时尚新潮性,而备受人们尤其是大学生的青睐,为了解大学生购买平板电脑进行学习的学习情况,某大学内进行了一次匿名调查,共收到1500份有效问卷.调查结果显示700名女学生中有300人,800名男生中有400人拥有平板电脑.
(Ⅰ)完成下列列联表:
(Ⅱ)分析是否有的把握认为购买平板电脑与性别有关?
附:独立性检验临界值表:
(参考公式:,其中)
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【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(Ⅰ)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(Ⅱ)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
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