Question

如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18；从AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，则绳子的最短长度为

21

当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为

60 3

7

-6

．

Answer 1

分析：由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离；取MB′的中点E，连接OE，交圆台上底展开图于F，则EF为所求．

解答：解：画出圆台的侧面展开图并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O．
根据两点之间线段最短，可得所求的最短距离是MB'，
设OA=R，圆心角是α，则
∵圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18
∴2π=αR  ①，8π=α（18+R）  ②，
由①②解得，α=

π

3

，R=6，
∴OM=15，OB'=24，
∴由余弦定理可得MB′²=15²+24²-2×15×24×cos

π

3

=441
∴MB′=21．
取MB′的中点E，连接OE，交圆台上底展开图于F，则EF为所求
∴cos∠OMB′=

152+10．52-OE2

2×15×10.5

=

152+212-242

2×15×21

∴OE=

60 3

7

∴EF=

60 3

7

-6
故答案为：21，

60 3

7

-6．

点评：本题考查在几何体表面的最短距离，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想．