Question

（2005•东城区一模）已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，定义函数f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，然后利用周期公式求得函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质求得函数单调减时2x+

π

6

的范围，进而求得x的范围即函数的单调减区间；
（3）用五点法作出g（x）的图象，结合图象研究g（x）的对称轴和对称中心．

解答：解：f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．…（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=π．…（6分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

?2kπ+

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

?kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．…（9分）
（3）函数g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的图象如图所示，

从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心．
∴对称中心是（-

π

12

，0）…（14分）

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算、二倍角公式和两角和与差的公式的应用和正弦函数的基本性质，考查基础知识的综合应用，三角函数的公式比较多，平时一定要加强记忆，到运用时方能做到游刃有余．