Question

【题目】已知函数．

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

(2)讨论函数的单调性．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.

【解析】分析：（1）现求出导函数，然后根据曲线在点处的切线与直线垂直，即可求解实数的值；

（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得哈市的单调性．

详解：(1)解：f(x)的定义域为{x|x>0}． ．

根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.

(2)解：　

当a>0时，因为x>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<a.

所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减．

当a<0时，因为x>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；

由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<－2a

所以函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，)上单调递增．.

所以：当a>0时，f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减．当a<0时，所以函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，)上单调递增.