Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设，若对任意，

恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增; 当时, 在上单调递增，在上单调递减; 当时， 在上单调递减，在上单调递增；

（2）.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，分三种情况，分别讨论的符号，即可得到函数的单调性；

（2），因为，当时，，在单调减；，当时，，在单调减.所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立,构造函数,则对任意恒成立,即求函数单调递减即可，求函数导数，由在上恒成立求的值即可.

试题解析：

（1）,令，

1.当时，，所以在上单调递增。

2．当时，令，，

所以在上单调递增，在上单调递减。

3.当时，令，，

所以在上单调递减，在上单调递增。

（2），因为，当时，，在单调减；

，当时，，在单调减.

因为对任意，，

不防设，则由两函数的单调性可得：

，

所以：对任意恒成立；

令，

则对任意恒成立；

即：在上单调减，

即：在上恒成立，

令，，

当时，在恒成立，所以，在单调减，

所以,满足题意。

当时，有两个极值点且，

所以在上，单调增，即：对任意上恒成立，不满足题意，舍！

综上所述：当时.不等式在恒成立.1