【题目】在直角坐标系中,以坐标原点务极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)曲线和的交点为,,求以为直径的圆与轴的交点坐标.
【答案】(1) : ;: (2) 点坐标为或
【解析】
(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求解曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)先求出MN的中点坐标,|MN|的长,可求得圆的方程,再令x=0,即可求解.
(Ⅰ)由sin(θ+)=,得ρ(sinθcos+cosθsin)=,
将代入上得x+y=1,即C1的直角坐标方程为x+y+1=0,
同理由ρ2=,可得3x2-y2=1,∴C2的直角坐标方程为3x2-y2=1.
(Ⅱ)∵PM⊥PN,先求以MN为直径的圆,设Mx1,y1),N(x2,y2),
由得3x2-(1-x)2=1,即x2+x-1=0,
∴,则MN的中点坐标为(-,),
由弦长公式,可得|MN|=|x1-x2|==.
∴以MN为直径的圆:(x+)2+(y-)2=()2,
令x=0,得+(y-)2=,即(y-)2=,∴y=0或y=3,
∴所求P点的坐标为(0,0)或(0,3).
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为,当时, 符合条件的共有_____个.
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【题目】过点的椭圆的离心率为,椭圆与轴交于两点、,过点的直线与椭圆交于另一点,并与轴交于点,直线与直线交于点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点异于点时,求证:为定值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数),C2:(m为参数).
(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线C1与C2的交点分别为A,B,O为坐标原点,求△OAB的面积的最小值.
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【题目】如图,在下列三个正方体中,均为所在棱的中点,过作正方体的截面.在各正方体中,直线与平面的位置关系描述正确的是
A. 平面的有且只有①;平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②;平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①;平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②;平面的有且只有③
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,E是PC的中点,底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若PB与平面ABCD所成角的正弦值为,求二面角P-AE-B的余弦值.
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