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已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A,B两点,ABF2的内切圆的半径为
2
3
7
c
(I)求椭圆的离心率;   
(II)若|AB|=8
2
,求椭圆的标准方程.
分析:(I)设直线l的方程为y=
3
(x+c)
代入椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),利用S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
1
2
 ×4a×
2
3
7
c
,还等于三角形的周长乘以三角形内切圆的半径,由此可求出椭圆的离心率;   
(II)由知(I)知a=
2
b
,c=b,|x1-x2| =
4
2
b
7
利用弦长公式|AB|,即可求出椭圆的标准方程.
解答:解:(I)设直线l的方程为y=
3
(x+c)

代入椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),消去y可得:(b2+3a2)x2+6a2cx+3a2c2-a2b2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
6a2c
3a2+b2
x1x2=-
3a2c2-a2b2
3a2+b2

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4ab2
3a2+b2

|y1-y2|=
3
|x1-x2|
=
4
3
ab
2
3a2+b2

∵S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
1
2
 ×4a×
2
3
7
c

4
3
ab
2
3a2+b2
=
4
3
 ac
7

a=
2
b

e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2

∴椭圆的离心率e=
2
2
;   
(II)由知(I)知a=
2
b
,c=b,∴|x1-x2| =
4
2
b
7

∴|AB|=
1+3
|x1-x2| =
8
2
b
7
=8
2

∴b=7,a=7
2

∴椭圆的标准方程为
x2
98
+
y2
49
=1
点评:本题重点考查椭圆的标准方程,考查椭圆的性质,解题时,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
的两个焦点,P为椭圆上一点且
PF1
PF2
=c2
,则此椭圆离心率的取值范围是(  )
A、[
3
3
,1)
B、[
1
3
1
2
]
C、[
3
3
2
2
]
D、(0,
2
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,过点F1作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A,B两点.当θ=
π
4
时,
AF1
=(2-
3
)
F1B
,且|AB|=3.
(1)求椭圆的离心率及椭圆的标准方程;
(2)求△ABF2面积的最大值,并求出使面积达到最大值时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•东城区一模)已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C1
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点,双曲线C1和圆C2:x2+y2=c2的一个交点为P,且2∠PF1F2=∠PF2F1,那么双曲线C1的离心率为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1(-c,0),F2(c,0) (c>0)是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,圆M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16

(1)若P是圆M上的任意一点,求证:
|PF1|
|PF2|
是定值;
(2)若椭圆经过圆上一点Q,且cos∠F1QF2=
3
5
,求椭圆的离心率;
(3)在(2)的条件下,若|OQ|=
34
2
,求椭圆的方程.

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