Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左右顶点，F（1，0）为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得a=2，c=1，由a²=b²+c²，求出b，进而求出椭圆C的标准方程及离心率；
（2）先设出直线l的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将l的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，半焦距为c，
因为A（-2，0）、B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F（1，0）为其右焦点，
所以a=2，c=1．又因为a²=b²+c²，所以b=

a2-c2

=

3

．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率为

1

2

．（5分）
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可设直线l的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因为点F坐标为（1，0），
当k=±

1

2

时，点P的坐标为(1，±

3

2

)，点D的坐标为（2，±2），
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y?1）²=1与直线PF相切．
当k≠±

1

2

时，则直线PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直线PF的方程为y=

4k

1-4k2

(x-1)．
点E到直线PF的距离d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因为|BD|=4|k|所以d=

1

2

|BD|．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线l绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．（14分）

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意运用方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．