Question

已知函数f(x)=

x3+2x2+5x+t

ex

（1）当t=5时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到其单调区间；
（2）不等式f（x）≤x可变为t≤xe^x-x³-2x²-5x，存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，等价于0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，m]恒成立，先讨论①m≤0时的情况，此时不等式可化简为e^x-x²-2x-5≤0，令g（x）=e^x-x²-2x-5，由于m为整数，利用导数验证m=-1，m=0时恒成立情况，再讨论②m=1时情况，综上可得最大整数m值．

解答：解：（1）当t=5时，f（x）=

x3+2x2+5x+5

ex

，∴f′(x)=

-x(x2-x+1)

ex

，
其中x²-x+1＞0，由f′（x）＞0，得x＜0，由f′（x）＜0，得x＞0，
所以，f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）；
（2）不等式f（x）≤x，即（x³+2x²+5x+t）e^-x≤x，即t≤xe^x-x³-2x²-5x．
转化为存在实数t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式t≤xe^x-x³-2x²-5x恒成立，即不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，m]恒成立，
当m≤0时，则有不等式e^x-x²-2x-5≤0对于x∈[-4，m]恒成立，
设g（x）=e^x-x²-2x-5，则g′（x）=e^x-2x-2，又m为整数，
则当m=-1时，则有-4≤x≤-1，此时g′（x）=e^x-2x-2＞0，
则g（x）在[-4，-1]上为增函数，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0时，当-1＜x≤0时，因为[g′（x）]′=e^x-2＜0，则g′（x）在（-1，0]上为减函数，
g′（-1）=e^-1＞0，g′（0）=-1＜0，故存在唯一x₀∈（-1，0]，使得g′（x₀）=0，即ex0=2x₀+2，
则当-4≤x＜x₀，有g′（x）＞0，；当x₀＜x≤0时，有g′（x）＜0；
故函数g（x）在区间[-4，x₀]上为增函数，在区间[x₀，0]上为减函数，
则函数g（x）在区间[-4，0]上的最大值为g(x0)=ex0-x02-2x₀-5，
又ex0=2x₀+2，则g（x₀）=（2x₀+2）-x02-2x₀-5=-x02-3＜0，
故不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，0]恒成立，
而当m=1时，不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x=1不成立．
综上得，m=0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决恒成立问题常转化为函数最值问题处理．