Question

如图，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，点M，N分别为AB、AC上的点，过M、N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．
（1）问AM+AN是否为定值？请说明理由．
（2）如何设计，方能使四边形BMNC的面积最小？

Answer 1

分析：（1）先求出腰长，然后根据过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分可求出AM+AN的值；
（2）当△AMN面积最大时，四边形BMNC面积最小，利用二次函数的性质求出S_△AMN有最大值，从而求出何时四边形BMNC面积最小．

解答：解：（1）△ABC是斜边为2的等腰直角三角形
∴AB=AC=

BC

2

=

2

∵M N分别为AB AC 上的点，过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分
∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN
∴AM+AN=MB+BC+NC
又（AM+AN）+（MB+BC+NC）=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2

2

∴AM+AN=MB+BC+NC=

2

+1
∴AM+AN为定值
（2）当△AMN面积最大时，四边形BMNC面积最小
AM+AN=

2

+1
令AM=x，则AN=

2

+1-x
S_△AMN=

1

2

AM×AN=

1

2

x（

2

+1-x）=-

1

2

[x²-（

2

+1）x]
当x=

2 +1

2

时，S_△AMN有最大值，四边形BMNC面积最小
即当AM=AN=

2 +1

2

时，四边形BMNC面积最小

点评：本题主要考查了二次函数的最值，同时考查了计算能力和分析能力，以及转化的思想，属于中档题．