Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x-2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x-2y=0的对称点为（x₀，y₀），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组

y0-0 x0-b • 1 2 =-1 x0+b 2 -2× y0 2 =0

，解得x₀、y₀；代入圆的方程 x₀²+y₀²=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
由根与系数的关系，得x1+x2=

2a2

a2+b2

，y1+y2=-(x1+x2)+2=

2b2

a2+b2

，
且判别式△=4a²b²（a²+b²-1）＞0，即a²+b²-1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）．
由已知得

a2

a2+b2

-

2b2

a2+b2

=0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²；故椭圆的离心率为e=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x₀，y₀），
则

y0-0

x0-b

•

1

2

=-1且

x0+b

2

-2×

y0

2

=0，
解得x0=

3

5

b且y0=

4

5

b．
由已知得 x₀²+y₀²=4，∴(

3

5

b)2+(

4

5

b)2=4，
∴b²=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．