Question

已知双曲线C的两个焦点分别是F₁（0，-

6

），F₂（0，

6

），且过点M（2，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点P满足PF₁⊥PF₂，求点P的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线的方程，代入M的坐标，再由a，b，c的关系，解方程即可得到a，b，进而得到双曲线方程；
（2）设出P的坐标，运用两直线垂直的条件得到m，n的方程，再由P在双曲线上，满足方程，解得m，n，即可得到P的坐标．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则c=

6

，a²+b²=c²=6，
代入点（2，2），可得

4

a2

-

4

b2

=1，
解得，a=

2

，b=2，
则双曲线的方程为

y2

2

-

x2

4

=1；
（2）设点P（m，n），
双曲线C上的点P满足PF₁⊥PF₂，
则有

n+ 6

m

•

n- 6

m

=-1，
即有m²+n²=6，
又

n2

2

-

m2

4

=1，
解得，m²=

8

3

，n²=

10

3

．
即有点P的坐标为（

24

3

，

30

3

），（-

24

3

，

30

3

），（-

24

3

，-

30

3

），（

24

3

，-

30

3

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查解方程的运算能力，属于基础题．