Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过、两点
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线交双曲线于、两点，且线段被圆：三等分，求实数、的值

Answer 1

（1）；（2）， 

试题分析：（1）求双曲线的方程，可设双曲线的方程是，利用待定系数法求出的值即可，由双曲线经过、两点，将、代入上面方程得，，解方程组，求出的值，即可求出双曲线的方程；（2）求实数、的值，直线交双曲线于、两点，且线段被圆：三等分，可知圆心与的中点垂直，设的中点，则，而圆心，因此只需找出的中点与的关系，可将代人，得，设，利用根与系数关系及中点坐标公式得，这样可求得的值，由的值可求出的长，从而得圆的弦长，利用勾股定理可求得的值
试题解析：（1）设双曲线的方程是，依题意有   2分
解得   3分 所以所求双曲线的方程是      4分
（2）将代人，得 （*）
               6分
设，的中点，则
，                   7分
则，，       8分
又圆心，依题意，故，即     9分
将代人（*）得，解得
                   10分
故直线截圆所得弦长为，又到直线的距离  11分
所以圆的半径
所以圆的方程是                12分
，                        13分