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是否存在a、b、c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²= $数学公式$ （an²+bn+c）．

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$ ．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²= $\text{[math]}$
记S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即S_k= $\text{[math]}$ （3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²= $\text{[math]}$ （k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
= $\text{[math]}$ （3k²+5k+12k+24）
= $\text{[math]}$ [3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
分析：首先假设存在a、b、c使题设的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
用数学归纳法予以证明即可．
点评：本题考查数学归纳法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用数学归纳法证明，证明时的难点在n=k+1，注意项数的变化与理解，属于难题．

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（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

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（2）若对x₁x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f（x）=

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（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件
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②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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