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(本小题满分14分)

 已知数列满足,其中.

(Ⅰ)若,求数列的通项公式;

(Ⅱ)若,且.

(ⅰ)记,求证:数列为等差数列;

(ⅱ)若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求应满足的条件.

【解析】(Ⅰ)当时,有

 …………2分

.                              ………………3分

又因为也满足上式,所以数列的通项为.………………4分

(Ⅱ)由题设知:,对任意的

                 于是又,   故 ………………5分

   ∴

(ⅰ)

所以数列为等差数列.       ………………7分

(ⅱ)设,(其中为常数且),所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分

(其中中的一个常数),

时,对任意的;                 ………………10分

;此时重复出现无数次.

时,

………………11分

①若,则对任意的,所以数列为单调减数列;

②若,则对任意的,所以数列为单调增数列;

………………12分

 均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多各出现一次,

即数列中任意一项的值最多出现六次.

综上所述:当时,数列中必有某数重复出现无数次.

时,数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分

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3
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4
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π
4
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2
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