Question

已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离
（1）求点M的轨迹方程
（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|
（3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），O为坐标原点．证明：OC⊥OD．

Answer 1

分析：（1）根据动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离，建立方程，化简即可得到点M的轨迹方程；
（2）求出过点F，倾斜角为30°的直线m，与（1）中轨迹方程联立，求出A，B的坐标，再求|AB|；
（3）设出方程，与（1）中轨迹方程联立，再求出OC，OD的斜率，证明其乘积为-1即可．

解答：（1）解：点M到点F的距离是|MF|=

x2+(y-1)2

，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|
根据题意，得x²+（y-1）²=（y+1）²
x²+y²-2y+1=y²+2y+1
即y=

x2

4

∴点M的轨迹方程是y=

x2

4

；
（2）解：∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为

3

3

∵F（0，1），∴直线m的方程为：y=

3

3

x+1
与抛物线方程联立

y= x2 4 y= 3 3 x+1

消去y可得，

x2

4

 -

3

3

x-1=0
∴x₁=2

3

或x2=-

2 3

3

∴y₁=3或y2=

1

3

∴A(2

3

，3)，B(-

2 3

3

，

1

3

)
∴|AB|=

(2 3 + 2 3 3 )2+(3- 1 3 )2

=

16

3

（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程，得

x2

4

=kx+4
即x²-4kx-16=0
∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16
∵OC 的斜率是

y1

x1

，OD的斜率是

y2

x2

∴

y1

x1

×

y2

x2

=

1 4   x 2 1 × 1 4 x 2 2

x1x2

= 

x1x2

16

=-1
∴OC⊥OD

点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，熟练掌握抛物线的性质，合理地进行等价转化．