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【题目】如图(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中点,将△PAD沿AD折起,使点P到达点P′的位置得到图(二),点M为棱P′C上的动点.

(1)当M在何处时,平面ADM⊥平面P′BC,并证明;

(2)若AB=2,∠P′DC=135°,证明:点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离,并求出该距离.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)取中点M,先证与DM,AD垂直,进而证明AD⊥平面DC,再证明平面BC⊥平面ADM; (2)利用转换顶点三棱锥体积不变底面积相等易证点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离,并求该距离.

解:(1)当点M为C的中点时,平面ADM⊥平面BC,

证明如下:∵D=DC,M为C中点,

C⊥DM,

∵AD⊥DP,AD⊥DC,

∴AD⊥平面DC,

∴AD⊥C,

C⊥平面ADM,

∴平面BC⊥平面ADM;

(2)

证明:在平面CD上作H⊥CD于H,

由(1)中AD⊥平面DC,

可知平面CD⊥平面ABCD,

H⊥平面ABCD,

由题意得D=2,∠DH=45°,

H=

设点C到平面AD的距离为h,

=

由题意△ADC≌△AD,

H=h,

故点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离,且距离为

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