Question

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer 1

分析：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n-n²-25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．
（3）年平均收入为

f(n)

n

=20-（n+

25

n

）≤20-2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．

解答：解：（1）如图，a₁=2，a₂=4，
∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），
则f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-25=20n-n²-25，
由f（n）＞0得n²-20n+25＜0，
解得10-5

3

＜n＜10+5

3

，
因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．
即从第2年该公司开始获利．
（3）年平均收入为

f(n)

n

=20-（n+

25

n

）≤20-2×5=10，
当且仅当n=5时，年平均收益最大．
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．

点评：本题考查数列在生产实际中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．