Question

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分．本题共5分．
（1）（不等式选讲）若实数x、y满足|x|+|y|≤1，则x²-xy+y²的最大值为________．
（2）（坐标系与参数方程）若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=________．

Answer 1

解：（1）∵|x|+|y|≤1，∴x² +2|xy|+y²≤1．
∵由于 x²-xy+y²≤x² +|xy|+y²≤x² +2|xy|+y²≤1，故 x²-xy+y² 的最大值为1，
当且仅当x=0或 y=0时，x²-xy+y² 有最大值为1，
故答案为 1．
（2）把直线（t为参数）消去参数化为普通方程为 3x+2y-7=0．
由于它和与直线4x+ky=1垂直，故有斜率之积等于-1，即-×（-）=-1，解得k=-6，
故答案为-6．
分析：（1）由条件可得x² +2|xy|+y²≤1，再由x²-xy+y²≤x² +|xy|+y²≤x² +2|xy|+y²≤1，可得 x²-xy+y² 有最大值．
（2）把直线（t为参数）消去参数化为普通方程，根据两直线垂直，斜率之积等于-1求得k的值．
点评：本题主要考查绝对值不等式的应用，把参数方程化为普通方程的方法，两直线垂直的性质，属于中档题．