【题目】已知圆: 和点,动圆经过点且与圆相切,圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线与轴正半轴的交点,点, 在曲线上,若直线, 的斜率分别是, ,满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)分析条件可得圆心满足条件>,从而可得曲线E是M,N为焦点,长轴长为的椭圆,可得椭圆的方程;(2)设直线的方程为,代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程,进一步可得
,由可求得,从而,从而
可得 ,从而可得三角形面积的最大值。
试题解析:
(1)由题意得圆的圆心为,半径为,
点在圆内,因为动圆经过点且与圆相切,所以动圆与圆内切。
设动圆半径为,则 .
因为动圆经过点,所以, >,
所以曲线E是M,N为焦点,长轴长为的椭圆.
设椭圆的方程为
则,
∴,
∴曲线的方程为.
(2)当直线的斜率为0时,不合题意;
设直线的方程为,
由消去x整理得,
设,
则,
由条件得点A坐标为(1,0),
∵,
∴
=.且,
∴,
解得,
故直线BC过定点(2,0),
由,解得,
∴ ,当且仅当时取等号。
综上面积的最大值为.
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【题目】如图所示,⊙O与⊙O′相交于A、B两点,过A引直线CD,EF分别交两圆于点C、D、E、F,EC与DF的延长线相交于点P,求证:∠P+∠CBD=180°.
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【题目】如图所示,在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,沿AB将四边形ABCD折起,使得平面ABCD与平面ABE垂直,M为CE的中点.
(1)求证:AM⊥BE;
(2)求三棱锥C﹣BED的体积.
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【题目】某车间计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具共100个,已知生产一个卡车模型需5分钟,生产一个赛车模型需7分钟,生产一个小汽车模型需4分钟,且生产一个卡车模型可获利润8元,生产一个赛车模型可获利润9元,生产一个小汽车模型可获利润6元.若总生产时间不超过10小时,该公司合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大利润是______________元.
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【题目】已知公差大于零的等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等差数列,且,求非零常数的值.
(3)设,为数列的前项和,是否存在正整数,使得对任意的均成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
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