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【题目】在边长为的等边三角形中,点分别是边上的点,满足,将沿直线折到的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是(

A.在边上存在点,使得在翻折过程中,满足平面

B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面平面

C.,当二面角为直二面角时,

D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为的最大值为

【答案】D

【解析】

利用反证法可证明AB错误,当且二面角为直二面角时,计算可得,从而C错误,利用体积的计算公式及放缩法可得,从而可求的最大值为,因此D正确.

对于A,假设存在,使得平面

如图1所示,

因为平面,平面平面,故

但在平面内,是相交的,

故假设错误,即不存在,使得平面,故A错误.

对于B,如图2

的中点分别为,连接

因为为等边三角形,故

因为,故

所以均为等边三角形,故

因为,故共线,

所以,因为,故平面

平面,故平面平面

若某个位置,满足平面平面,则在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影为,所以

此时,这与矛盾,故B错误.

对于C,如图3(仍取的中点分别为,连接

因为,所以为二面角的平面角,

因为二面角为直二面角,故,所以

,故平面,因平面,故.

因为,所以.

中,

中,,故C错.

对于D,如图4(仍取的中点分别为,连接),

在底面上的射影,则上.

因为,所以,所以.

,则

时,;当时,.

所以为增函数,在为减函数,故.

故D正确.

故选:D.

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