【题目】在边长为的等边三角形中,点分别是边上的点,满足且,将沿直线折到的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是( )
A.在边上存在点,使得在翻折过程中,满足平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面平面
C.若,当二面角为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为,的最大值为
【答案】D
【解析】
利用反证法可证明A、B错误,当且二面角为直二面角时,计算可得,从而C错误,利用体积的计算公式及放缩法可得,从而可求的最大值为,因此D正确.
对于A,假设存在,使得平面,
如图1所示,
因为平面,平面平面,故,
但在平面内,是相交的,
故假设错误,即不存在,使得平面,故A错误.
对于B,如图2,
取的中点分别为,连接,
因为为等边三角形,故,
因为,故
所以均为等边三角形,故,,
因为,,,故共线,
所以,因为,故平面,
而平面,故平面平面,
若某个位置,满足平面平面,则在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影为,所以,
此时,这与矛盾,故B错误.
对于C,如图3(仍取的中点分别为,连接)
因为,所以为二面角的平面角,
因为二面角为直二面角,故,所以,
而,故平面,因平面,故.
因为,所以.
在中,,
在中,,故C错.
对于D,如图4(仍取的中点分别为,连接),
作在底面上的射影,则在上.
因为,所以且,所以其.
又
,
令,则,
当时,;当时,.
所以在为增函数,在为减函数,故.
故D正确.
故选:D.
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【题目】(1)取何值时,方程()无解?有一解?有两解?有三解?
(2)函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序,研究函数的性质,并在此基础上,作出其在的草图;
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【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,分别为椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,
的重心分别为.若原点在以线段
为直径的圆内,求实数的取值范围.
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【题目】如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2.
(1) 若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2) 求的最小值.
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【题目】已知,给定个整点,其中.
(Ⅰ)当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点,求的所有可能值;
(Ⅱ)从上面个整点中任取个不同的整点,.
(i)证明:存在互不相同的四个整点,满足,;
(ii)证明:存在互不相同的四个整点,满足,.
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【题目】椭圆的焦点是,,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过左焦点的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.问椭圆上是否存在点,使线段和线段相互平分?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P,Q两点,O为坐标原点,的面积为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)点M,N为椭圆E上不同两点,若,求证:的面积为定值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线上与C交于A,B两点,是否存在l,使得点在以AB为直径的圆外.若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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