Question

如图，A，B是焦点为F的抛物线y²=-4x上的两动点，线段AB的中点M在直线x=t（t＜0）上．
（1）当t=-1时，求|FA|+|FB|的值；
（2）记|AB|得最大值为g（t），求g（t）．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＜0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（2）设设直线AB的方程为x-t=-

m

2

（y-m），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|AB|的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出其最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）y²=-4x的焦点坐标是F（-1，0），准线方程是x=1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=-x₁+1，|BF|=-x₂+1
∴|FA|+|FB|=-（x₁+x₂）+2
∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＜0）上
∴x₁+x₂=2t，
∴|FA|+|FB|=-2t+2；
∵t=-1，∴|FA|+|FB|=4．
（2）由

y 2 1 =-4x1 y 2 2 =-4x2

得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），
∴

x1-x2

y1-y2

=-

m

2

故可设直线AB的方程为x-t=-

m

2

（y-m）
即 x=-

m

2

y+

m2

2

+t     6分
联立

x=- m 2 y+ m2 2 +t y2=-4x

消去x得y²-2my+2m²=4t=0
y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²+4t，8分
∴|AB|=

1+ m2 4

|y₁-y₂|=

-[m2+2(t+1)]2+4(t-1)2

，
∵△=-4m²-16t＞0，∴0≤m²＜-4t，
∴g（t）=|AB|_max=

4-t ，-1≤t＜0 2-2t，t＜-1

．14分．

点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．