Question

已知函数f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列．
（1）当0＜x≤1时，f（x）=

 

．
（2）若该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,函数零点的判定定理

专题：等差数列与等比数列

分析：函数y=f（x）与y=x-1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序为0，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）-x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．

解答： 解：当x≤0时，g（x）=f（x）-x+1=x，故a₁=0
当0＜x≤1时，有-1＜x-1≤0，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-1+1=2x-2，g（x）=f（x）-x+1=x-1，故a₂=1；
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-2+1=2x-3，g（x）=f（x）-x+1=x-2，故a₃=2；
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-3+1=2x-4，g（x）=f（x）-x+1=x-3，故a₄=3；
…
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=n+1．
故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列．
故S₁₀=

10×(10-1)

2

=45
故答案分别为：2x-2，45．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、函数图象的交点、“分类讨论”方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．