如图，椭圆
与椭圆
中心在原点，焦点均在
轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为
，且椭圆的左准线
被椭圆截得的线段
长为
，已知点
是椭圆上的一个动点．
⑴求椭圆与椭圆的方程；
⑵设点
为椭圆的左顶点，点
为椭圆的下顶点，若直线
刚好平分
，求点的坐标；
⑶若点
在椭圆上，点
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
,（2）
，（3）
.
解析试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中
三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆的长轴长为得
，又由椭圆的左准线得
，所以
，
，
，就可得到椭圆的标准方程；由椭圆与椭圆离心率相同，得
再由椭圆过点
，代入可得椭圆（2）涉及弦中点问题,一般用“点差法”构造等量关系.本题较简单,可直接求出中点坐标,再利用直线与椭圆联立方程组求交点坐标;（3）求定值问题,一是确定定值,这可利用特殊情况給于确定,二是参数选择,不仅要揭示问题本质,更要易于消元,特别是整体消元.本题研究的是直线与直线的斜率之积,即它们坐标满足
为定值,参数选为点的坐标,利用点的坐标满足
进行整体消元.
试题解析：⑴设椭圆方程为
，椭圆方程为
，
则
，∴，又其左准线
，∴，则
∴椭圆方程为，其离心率为
， 3分
∴椭圆中
，由线段的长为，得,代入椭圆
，
得
，∴
，椭圆方程为； 6分
⑵
，则中点为
，∴直线为
， 7分
由
，得
或
，
∴点的坐标为； 10分
⑶设
，
，则
，
，
由题意
，∴
12分
∴
14分
∴
心算口算巧算一课一练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C1：
＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，
＝2
，求直线AB的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋
＝0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝4，证明：直线AB过定点
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆的方程为
，斜率为1的直线不经过原点
，而且与椭圆相交于
两点，
为线段
的中点.
（1）问：直线
与能否垂直？若能，求
之间满足的关系式；若不能，说明理由；
（2）已知为
的中点，且
点在椭圆上.若
，求之间满足的关系式.
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已知抛物线的顶点在坐标原点
，焦点
在
轴上，抛物线上的点
到的距离为2，且的横坐标为1．直线
与抛物线交于
，
两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线
，
的倾斜角之和为
时，证明直线
过定点.
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在平面直角坐标系中，已知点
，点
在直线
：
上运动，过点与垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
．
(1)求动点的轨迹
的方程；
(2)过(1)中的轨迹上的定点
作两条直线分别与轨迹相交于
，
两点．试探究：当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线、相交于
、
两点.（
）
（Ⅰ）求、两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线与直线
（
为参数）分别相交于
两点，求线段
的长度.
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的离心率为
，直线
与圆
相切.
的方程；
与椭圆
，求弦长
.
的椭圆
一个焦点为
.
的方程；
交椭圆
两点,且
，求直线