Question

若关于x的方程sin2x-2

3

cos2x+m+

3

-1=0在区间[0，

π

2

]上有两个不同的解，则实数m的取值范围是（　　）

• A、(-1，1-

  3

  ]
• B、(0，1-

  3

  ]
• C、(-1，2

  3

  ]
• D、(0，1+

  3

  ]

Answer 1

分析：这种题目首先要分离参数，把m表示出来，整理关于三角函数的解析式，根据余弦曲线的特点看出若有两个交点时，m应该在的区间．

解答：解：∵关于x的方程sin2x-2

3

cos2x+m+

3

-1=0在区间[0，

π

2

]上有两个不同的解，
∴m=2

3

cos2x-sin2x+1-

3

=

3

cos2x-sin2x+1
=2cos（2x+

π

6

）+1
∵在区间[0，

π

2

]上有两个不同的解，
只要写出函数的值域，当x∈[0，

π

2

]时，
2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
根据余弦函数的图象可以知道函数在这个区间上，若是直线y=m与曲线有两个交点，
则m∈(-1，1-

3

]，
故选A．

点评：本题考查函数的定义域和值域，本题解题的关键是分离参数，把m看成是函数，求函数的值域即可．