Question

设直线l：y=5x+4是曲线C：f（x）=

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3

x3-x2+2x+m的一条切线，g（x）=ax²+2x-23．
（Ⅰ）求切点坐标及m的值；
（Ⅱ）当m∈Z时，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得f′（x₀）=5即可解得切点的横坐标x₀，进而得到切点坐标及m的值；
（Ⅱ）解法一：由m∈Z，可得m=13，设h（x）=f（x）-g（x），则存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用导数和分类讨论即可得出
解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，
（ⅰ）当x≠0时，通过分离参数可得：a≥

1

3

x+

36

x2

-1，设h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1，则存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤a，利用导数即可得出；
（ⅱ）当x=0时，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，可知：a不存在．

解答：解：（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），
∵f'（x）=x²-2x+2，∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
当x₀=-1时，y₀=-1，∵P（-1，-1）在曲线C上，∴m=

7

3

，
当x₀=3时，y₀=19，∵P（3，19）在曲线C上，∴m=13，
∴切点P（-1，-1），m=

7

3

，
切点P（3，19），m=13．       
（Ⅱ）解法一：∵m∈Z，∴m=13，
设h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+36，
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤0，
h'（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
（ⅰ）若1+a≥0即a≥-1，令h'（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函数，
令h'（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），
∴h（x）在[0，2（1+a）]上是减函数，∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
（ⅱ）若1+a＜0即a＜-1，令h'（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴h（x）_min=h（0），
令h（0）≤0，不等式无解，∴a不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．
解法二：由f（x）≤g（x）得ax2≥

1

3

x3-x2+36，
（ⅰ）当x≠0时，a≥

1

3

x+

36

x2

-1，设h(x)=

1

3

x+

36

x2

-1
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤a，
h′(x)=

1

3

-

72

x3

=

x3-63

3x3

，
令h'（x）≥0解得x≥6，∴h（x）在[6+∞）上是增函数，
令h'（x）＜0，解得0＜x＜6，∴h（x）在（0，6）上是减函数，
∴h（x）_min=h（6）=2，∴a≥2，
（ⅱ）当x=0时，不等式ax2≥

1

3

x3-x2+36不成立，
∴a不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、把问题等价转化等是解题的关键．