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    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点M(
    		2
    ，1)    ，离心率为
    		2
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足
    |
    AP
    |
    |
    PB
    |
    =
    |
    AQ
    |
    |
    QB
    |
    =λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．
    分析：（Ⅰ）先根据离心率求得c，a的关系，则根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得；
    （Ⅱ）先设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设
    |
    PA
    |
    |
    AQ
    |
    =
    |
    PB
    |
    |
    QB
    |
    =λ．又P，A，Q，B四点共线，可得
    PA
    =-λ
    AQ
    ，
    PB
    =λ
    BQ
    (λ≠0，±1)    结合A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，得到2x+y-2=0最后根据点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．
    解答：解（Ⅰ）由题意解得a2=4，b2=2，所求椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ．
    （Ⅱ）设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设
    |
    PA
    |
    |
    AQ
    |
    =
    |
    PB
    |
    |
    QB
    |
    =λ．
    又P，A，Q，B四点共线，可得
    PA
    =-λ
    AQ
    ，
    PB
    =λ
    BQ
    (λ≠0，±1)    ，
    于是x1=
    4-λx
    1-λ
    ，y1=
    1-λy
    1-λ
    （1）x2=
    4+λx
    1+λ
    ，y2=
    1+λy
    1+λ
    （2）
    由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x2+2y2=4，
    整理得（x2+2y2-4）λ2-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x2+2y2-4）λ2+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
    （4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
    点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．
    点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
    （1）求椭圆离心率e；
    （2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
    OP
    •
    OQ
    =-
    5
    3
    求椭圆C的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
    F1F2
    +
    F2Q
    =
    0
    ．
    （1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
    		3
    y-3=0相切，求椭圆C的方程；
    （2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
    1
    |F2M|
    +
    1
    |F2N|
    为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•盐城一模）设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
    		5
    +2
    		5
    +2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
    PF1
    |+|
    PF2
    |=4    ，离心率e=
    		3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
    PF1
    •
    PF2
    =-
    5
    4
    ，求点P的坐标；
    （3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
    		2
    2
    ，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
    		3
    y-3=0    相切．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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