Question

已知向量

a

=（3sin α，cos α），

b

=（2sin α，5sin α-4cos α），α∈(

3π

2

，2π)，且

a

⊥

b

．
（1）求tan α的值；
（2）求cos(

α

2

+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（ 1）通过向量关系，求

a

•

b

=0，化简后，求出tanα=-

4

3

．
（2）根据α的范围，求出

α

2

的范围，确定

α

2

的正弦、余弦的值，利用两角和的余弦公式求出cos(

α

2

+

π

3

)的值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0．
而

a

=（3sinα，cosα），

b

=（2sinα，5sinα-4cosα），
故

a

•

b

=6sin²α+5sinαcosα-4cos²α=0．
由于cosα≠0，∴6tan²α+5tanα-4=0．
解之，得tanα=-

4

3

，或tanα=

1

2

．
∵α∈（

3π

2

，2π），tanα＜0，
故tanα=

1

2

（舍去）．
∴tanα=-

4

3

．
（2）∵α∈(

3π

2

， 2π )，∴

α

2

∈(

3π

4

，π)
由tanα=-

4

3

，求得tan

α

2

=-

1

2

或tan

α

2

=2（舍去）
∴sin

α

2

=

5

5

，cos

α

2

=-

2 5

5

cos（

α

2

+

π

3

）=cos

α

2

cos

π

3

-sin

α

2

sin

π

3

=-

2 5

5

×

1

2

-

5

5

×

3

2

=-

2 5 + 15

10

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，数量积的坐标表达式，弦切互化，考查计算能力，是基础题．