Question

如图，正方体AC′的棱长为a．
（1）写出与AC平行的面对角线；
（2）写出与AC异面的面对角线；
（3）求直线AC与B′D′所成的角；
（4）求直线BA′和CC′所成的角；
（5）求直线BA′与B′C所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用正方体的结构特征和平行线的定义能求出在正方体AC′中，与AC平行的面对角线．
（2）利用正方体的结构特征和异面线的定义能求出在正方体AC′中，与AC异面的面对角线．
（3）由B′D′∥BD，BD⊥AC，得到直线AC与B′D′所成的角为90°．
（4）由CC′∥BB′，得∠A′BB′是直线BA′和CC′所成的角，由此能求出直线BA′和CC′所成的角．
（5）由B′C∥A′D，得∠BA′D是直线BA′与B′C所成的角，由此能求出直线BA′与B′C所成的角．

解答： 解：（1）在正方体AC′中，与AC平行的面对角线是A′C′．
（2）正方体AC′中，与AC异面的面对角线是BC，A′D，B′D′，DC，A′B．
（3）∵B′D′∥BD，BD⊥AC，
∴直线AC与B′D′所成的角为90°．
（4）∵CC′∥BB′，∴∠A′BB′是直线BA′和CC′所成的角，
∵∠A′BB′=45°，∴直线BA′和CC′所成的角为45°．
（5）∵B′C∥A′D，∴∠BA′D是直线BA′与B′C所成的角，
∵∠BA′D=60°，∴直线BA′与B′C所成的角为60°．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．