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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
    		2
    海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=
    		26
    26
    ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10
    		13
    海里的位置C．
    （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
    （II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
    分析：（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=
    		26
    26
    求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．
    （2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
    解答：精英家教网解：（I）如图，AB=40
    		2
    ，AC=10
    		13
    ，∠BAC=θ，sinθ=
    		26
    26
    ．
    由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=
    		1-(
    		26
    26
    )    2
    =
    5
    		26
    26
    ．
    由余弦定理得BC=
    		AB2+AC2-2AB•AC•cosθ
    =10
    		5
    ．
    所以船的行驶速度为
    10
    		5
    2
    3
    =15
    		5
    （海里/小时）．

    （II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
    在△ABC中，由余弦定理得，
    cos∠ABC=
    AB2+BC2-AC2
    2AB•BC
    =
    402×2+102×5-102×13
    2×40
    		2
    ×10
    		5
    =
    3
    		10
    10
    ．精英家教网
    从而sin∠ABC=
    		1-cos2∠ABC
    =
    		1-
    9
    10
    =
    		10
    10
    ．
    在△ABQ中，由正弦定理得，
    AQ=
    ABsin∠ABC
    sin(45°-∠ABC)
    =
    40
    		2
    ×
    		10
    10
    		2
    2
    ×
    2
    		10
    10
    =40    ．
    由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15．
    过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
    在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
    =15×
    		5
    5
    =3
    		5
    ＜7    ．
    所以船会进入警戒水域．
    点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．
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    		2
    海里的位置B，经过80分钟又测得该船已行驶到点A正东方向且与点A相距20海里的位置C．
    （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
    （II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域．点E正北40
    		3
    海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20
    		3
    海里的位置C．
    （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； 
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    科目：高中数学 来源：2015届湖南省高一上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    (本小题满分14分）

    如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.

    （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

    （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年陕西省高三第三次月考理科数学（普通班）（解析版） 题型：解答题

    在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

    　　(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

    　　(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

     

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