Question

（2007•闸北区一模）如图：过点P（0，2）做直线交抛物线x²=2y于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）直线AB：y=kx+2与抛物线x²=2y联立，求出OA，OB的斜率，利用韦达定理可得结论；
（2）根据S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP，表示出面积，得出S_△OAB=2

k2+4

，即可得到结论．

解答：证明：（1）由题意，设直线AB：y=kx+2，与抛物线x²=2y联立，可得x²-2kx-4=0
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），
则直线OA的斜率为k_OA=

y1

x1

，直线OB的斜率为k_OB=

y2

x2

，
因为x₁，x₂是方程x²-2kx-4=0得两个解，根据韦达定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-4
∴k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=

(kx1+2)(kx2+2)

x1x2

=

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

x1x2

=

-4k2+2k•2k+4

-4

=-1
所以OA⊥OB；
（2）S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP||x₁|+

1

2

|OP||x₂|=

1

2

|OP||x₂-x₁|=2

k2+4

，
∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．