分析 (1)由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值.
(2)当x<0时,根据函数f(x)=x+$\frac{1}{x}$ 的图象,利用导数求得它的单调区间.
解答 解:(1)∵函数f(x)=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$(a、b、c∈Z)是奇函数,
∴f(-x)=$\frac{{ax}^{2}+1}{-bx+c}$=-f(x)=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$,∴c=0.
又∵f(1)=2,∴$\frac{a+1}{b+c}$=$\frac{a+1}{b}$=2,∴a+1=2b.
根据f(2)=$\frac{4a+1}{2b}$<3,∴a=b=1.
综上可得,a=b=1,c=0.
(2)当x<0时,函数f(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$,∴f′(x)=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$,令f′(x)=0,求得x=-1,
在(-∞,-1)上,f′(x)>0,函数f(x)单掉递增,在(-1,0)上,f′(x)<0,函数f(x)单掉递减,
故单调增区间为(-∞,-1),单调减区间为(-1,0).
点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用,利用导数研究函数的单调性,属于基础题.
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A. | $\frac{n}{2(n+2)}$ | B. | $\frac{n}{2(n+1)}$ | C. | $\frac{2n}{n+2}$ | D. | $\frac{n}{n+1}$ |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | ±1 | D. | 2 |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{2}{π}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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