Question

5．已知直线l的极坐标方程为$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=6$，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=10cosθ\\ y=10sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）展开两角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直线l的直角坐标方程，两式平方作和消去θ得到圆的普通方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用弦心距、圆的半径及弦长的关系求得答案．

解答 解：（1）由$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=6$，得$ρ（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ）=6$，
∴y-$\sqrt{3}x=12$，即$\sqrt{3}x-y+12=0$．
圆的方程为x²+y²=100．
（2）圆心（0，0）到直线$\sqrt{3}x-y+12=0$的距离d=$\frac{|12|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=6$，y=10，
∴弦长l=$2\sqrt{100-36}=16$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了弦心距、圆的半径及弦长的关系，是基础题．