Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．
（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC．证明GF∥PA．推出GF∥平面PAD．然后证明EF∥AD．得到EF∥平面PAD．即可证明平面EFG∥平面PAD．
（Ⅱ）存在λ，$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，平面PBC⊥平面PAD．
方法一：证明PE⊥BC，PE⊥AB．得到BC⊥平面PAB．说明PA=PB．当PA⊥PB，$PA=PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，PA⊥平面PBC．然后求解即可．
方法二：过点P作PQ∥BC．说明PQ，AD共面，推出PE⊥BC．说明∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．然后通过$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$．即$PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，说明平面PBC⊥平面PAD．．

解答 （本题满分9分）
（Ⅰ）证明：连结AC．
∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，
∴F也是AC的中点．

∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，
∴GF∥PA．
∵GF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴GF∥平面PAD．
∵E是AB中点，F是BD中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD．
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面PAD．                                        …（5分）
（Ⅱ）解：存在λ，$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，平面PBC⊥平面PAD．
方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PE⊥BC，PE⊥AB．
∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵PE∩AB=E，
∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，
∴PA⊥BC．
∵PE⊥AB，E为AB的中点，
∴PA=PB．
当PA⊥PB，即$PA=PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，
∴PA⊥平面PBC．
∵PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PBC．此时 $λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）
方法二：过点P作PQ∥BC．

∴PQ，BC共面，即PQ?平面PBC．
∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∵PQ∥BC，
∴PQ∥AD．
∴PQ，AD共面，即PQ?平面PAD．
∴平面PBC∩平面PAD=PQ．
∵PE⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PE⊥BC．
∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵PQ∥BC，
∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．
∵PE∩AB=E，
∴PQ⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，PB?平面PAB，
∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，
∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．
∵平面PAD⊥平面PBC，
∴∠APB=90°．
∵PE⊥AB，E为AB的中点，
∴PA=PB．
∴△PAB是等腰直角三角形．
∴$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$．即$PB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$时，平面PBC⊥平面PAD．    …（9分）

点评 本题考查平面与平面平行于垂直的判定定理以及性质定理的应用，存在性问题的处理方法，考查空间想象能力以及计算能力．