Question

【题目】已知圆O的方程为x2+y2=5．
（1）P是直线y= x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；
（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设P（x0，y0），则 ，

由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP，

其方程为 ，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，

由 ，得：x0x+y0y=5．

∴直线CD的方程为：x0x+y0y=5．

又 ，∴ ，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0．

由 ，得： ．

∴直线CD过定点

（2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，则 ．

∴ ，

故 ．

当且仅当 ，即d1=d2=1时等号成立．

∴四边形EGFH面积的最大值为8

【解析】（1）设P的坐标，写出以OP为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD的方程，结合P在直线y= x﹣5，利用线系方程证明直线CD过定点；（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2 ， 则 且 ，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得四边形EGFH面积的最大值．