Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=2_an-1+3_an-2（ n≥3，n∈N^*），求通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），a₂+a₁=3，从而an+an+1=3n，进而得到{a_n-

1

4

×3n}是等比数列，公比为-1，由此能求出a_n．

解答： 解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（ n≥3，n∈N^*），
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
又a₂+a₁=3，
∴{a_n+a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an+an+1=3n，
∴a_n+1=-a_n+3ⁿ，
∴a_n+1-

1

4

×3n+1=-（a_n-

1

4

×3ⁿ）
∴{a_n-

1

4

×3n}是等比数列，公比为-1，
∵a₁=1
∴a_n-

1

4

×3n =（1-

3

4

）×（-1）^n-1=

1

4

×（-1）^n-1，
∴a_n=

1

4

×3n+

1

4

×（-1）^n-1=

3n+(-1)n-1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．