Question

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：ρcos(θ+

π

4

)=2

2

与曲线C₂：

x=4t2 y=4t

（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析：先将极坐标方程化为普通方程，再将这两个方程联立，消去x，得y²-4y-16=0，再由韦达定理研究．

解答：证：曲线C₁的直角坐标方程x-y=4，曲线C₂的直角坐标方程是抛物线y²=4x，（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将这两个方程联立，消去x，
得y²-4y-16=0?y₁y₂=-16，y₁+y₂=4，（6分）
∴x₁x₂+y₁y₂=（y₁+4）（y₂+4）+y₁y₂=2y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=0．（8分）
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB．（10分）

点评：本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系的问题．